Funktionsanalyse - matematik

f(x)=-x^2x + 3

Dm(f) = IR

skæringspunkt x aksen

vi sætter y til at være 0 for at finde skæringspunkt i x

y=0

0=-x^2 +2x +3

Til det bruger vi 0 punkts formelen

X1,2 = -+b * kvadratruden(b^2 -4ac/2a (=) x= 3 eller x=-1

skæringspunkt med y aksen findes ved:

vi sætter x=0

f(0)=3

Minimuspunkt og Maximuspunkt

Vi diffeancere

f1 (x) = -2x + 2

vi sætter f til at være 0

0=-2x+2

2x=2

x=2/2 = 1

Bødker faget

Bødkeres arbejde gik ud på at lave tønder og træfade. At lave en tæt tønde den kunne indeholde et præcist mål kvævde stor præcistion og erfaring. Skulle man uddannes som bødker skulle man flere år i lærer hos en udlært bødker.

Bødkeren redskaber var:

Stryghølv en hølv der var mellem 75 og 300 cm lang som man ligger på gulvet med bladet opad og strygrt tønde stavene langs

Betrækkehølv en hølv der var omkring 50 cm lang og 10 cm bred, den blev brugt til at give tønden en glat overflade efter den øverste og nedeste ring er sat på.

Båndknive en kniv med håndtag i begge ender hvor knivbladet sidder i midten.

Bindtblok en stor kegleformet jerncylinder på 1,5-2 m høj, redskabet bruges til spænde tønden sammen efter dampningen

bødker faget har eksisteret siden 200 år e.kr og findes stadig i dag men i en mindre grad.

Sammensat funktion

F(x)=kvadratruden(x2 +1)

Indre funktion = I

I(x) = x2 +1   

I´ (x) = 2x

Når man ser bort fra den indre funktion skrives = z

Y(z)= Kradratruden(z)

Y` (z) = ½ kradratruden(2)

F(x)=y (i(x))

Diff af sammensat funktion

F´(x)= y´(i(x)) * i´ (x) 

Eksempler:

Eks 1

F(x)=(2x+1)3

Vi søger f ´(x)

I(x)= wx+1        

I ´ (x) = 2

Y(z) = z3

Y ` (z)= 3z2

F ´ (x) = 3(2x+1)2 *2 = 6 (2x+1)2

Eks 2

F(x)=sin(x2-3x)

Vi søger igen f ´ (x)

I (x) = x2-3x

I ´ (x) = 2x-3

Y(z) = sin(z)

Y ´ (z) = cos(z)

F ` (x) = cos(x2-3x)*(2x-3)

Opgaver:

a) f(x) = (7+3x2 )5

i (x) = 7+3x2

y (x) = 5*z4

5*(7+3x2)4

b) f(x)=(2+4x2-9x3)4

i´(x) = 6x-12x2

y´(x) = 4*z3

4*(6x—12x2)3

c) f(x)= (2- kradratruden(x+1))3

i(x)=kradratruden(x+1)

y(x)=2(z)3

Integralregning mat B

Eksempel

Integrere → f(x)=x^2+4

(=)

Differentiere → f1(x)= 2x

2x*dx = x^2 +k x2+k= Integrationskonstanten (kan bestemmes hvis du har et punkt på

grafen af stamfunktionen

Udtales ”integral af 2x*dx”

f(x)=x2+4 er en stamfunktion til f ´(x)

Samfunktionen angives med et stort K

f(x)=2x → F(x) = x^2+k

Man kan efter regne om resultatet er rigtigt ved at differentiere igen.

Kaldes også integrationsprøven

F´ (x)= f(x)

Udregning på lommeregner f(x)=x

Klik F3 CALC

2 Integrate

ς (x, x)

ς x δ x → x2/2

F(x)=x2/2+k

f(x)=3x2 F(x)=x3+k

Regneregler

f(x)	F(x)= f(x) dx
k k^n Sin x Cos x Tank x (Sin x)^2 (Cos x)^2 1+(Tan x)^2=1/(Cos x)^2	k*x x^n+1/n+1 -cos x sin x -Ln l cos x l 0,5(x-sin x cos x) 0,5(x+sin x cos x) tan x

ς u (x) + v(x) dx=ς u (x) dx + ς v (x) dx

ς u (x) - v(x) dx=ς u (x) dx - ς v (x) dx

a^ -n = 1/a^n

n^Kradratruden(a^p) = a

Det skrå kast Teori

Indledning: I fysik opstillede forsøg der gik ud på at affyre en kugle og ud fra det finde mundingsfart og at måle kastevidden ved forskellige vinkler.

Man kan vise kastet i en graf hvor y er højde og x er længde.

Teori: Når noget bliver kastet på jorden er der nogle kræfter der påvirker den, uden disse kræfter ville jorden være som i rummet og første stoppe når den rammer noget. Tyngdekraften presser objekter mod jorden. Tyngdekraften er i virkeligheden jordens enorme masse der trækker ting til sig, Jordens tyngdekraft er derfor også skyld i vi har en måne. Jordens bliver også påvirket af andre kræfter blandt andet solen, solens store masse trækker i alle solsystemets planter.    

pH beregning

stærk syre pH=-log C_s                      0,1 M HCL       ph=-log 0,1 = 1

svag syre pH=0,5(pK_s-log C_s)         0,1 M NH₄⁺ pH=0,5(9,25-log 0,1)= 4,63

stærk base NaOH  =) Na⁺ + OH^-           x=1

                  Mg(OH)₂ =) Mg²⁺ +2OH^-    x=2

                  pOH=-log(1*0,1)=1 pOH+pH=14 =) pH=14-pOH =) pH=13

svag base  pOH=0,5(pk_B-log C_B) pOH=0,5(4,75-log 0,1)=2,3 pH=11,2

0,1M NH3

C_ formel/koncentration= tilsætter

(_) aktuel/koncentration= ved jeg måler

Matematik differentialregning Tabel

F(x)	F1(x)
Ax+B	A
Ax2	2Ax
Xn	N*xn-1
Kradratruden(x)	1/2*kradratruden(x)
1/x	-1/x2
Sin(Kx)	K*cos(kx)
Cos(kx)	-k*sin(kx)
Tan(x)	1+(tan(x))2

Syrestyrke

Defineres ud fra syrens reaktion med vand

S + H 2 O  B + H 3O +

S = syre
B = base


Ks = (B)( H 3O +)/(s)

Ks =styrkekonstanten

Stærk HCL 1x107 M
H2SO4 1x103 M

Middelstærk H2SO3 1,29x10-2 M
HNO2 ,47x10-4 M

Svag CH3COOH 1,74x10-5 M
NH4+ 5,62x10-10 M


Stort tal =) stærk (= lille
Lille tal = svag (= stort

pKs = -log ks

pH= -log(H3O+)